seychellesartprojects.org

Công thức tính phân phối nhị thức

Công thức phân phối nhị thức được sử dụng để tính xác suất nhận được x thành công trong n lần thử nghiệm của thí nghiệm nhị thức độc lập và xác suất được suy ra bằng sự kết hợp giữa số lần thử và số lần thành công được đại diện bởi nCx nhân với xác suất thành công được nâng lên thành lũy thừa của số lần thành công được biểu thị bằng px, được nhân thêm với xác suất thất bại được nâng lên thành lũy thừa của hiệu số giữa số lần thành công và số lần thử được biểu thị bằng (1-p) nx.

Xác suất thu được x thành công trong n lần thử nghiệm độc lập của một thí nghiệm nhị thức được cho bởi công thức phân phối nhị thức sau:

P (X) = _n C _x px (1-p) nx

trong đó p là xác suất thành công

Trong phương trình trên, _n C _x được sử dụng, không có gì khác ngoài công thức kết hợp. Công thức tính kết hợp được đưa ra là _n C _x = n! / x! (nx)!  trong đó n đại diện cho số mục (thử nghiệm độc lập) và x đại diện cho số mục được chọn tại một thời điểm (thành công).

Trong trường hợp n = 1 trong phân phối nhị thức, phân phối được gọi là phân phối Bernoulli. Giá trị trung bình của một phân phối nhị thức là np. Phương sai của phân phối nhị thức là np (1-p).

Tính toán phân phối nhị thức (từng bước)

Tính toán phân phối nhị thức có thể được rút ra bằng cách sử dụng bốn bước đơn giản sau:

• Bước 1: Tính toán kết hợp giữa số lần thử và số lần thành công. Công thức của _n C _x là trong đó n! = n * (n-1) * (n-2). . . * 2 * 1. Đối với một số n, giai thừa của n có thể được viết dưới dạng, n! = n * (n-1)! Ví dụ, 5! là 5 * 4 * 3 * 2 * 1
• Bước 2: Tính xác suất thành công được nâng lên lũy thừa của số lần thành công là px.
• Bước 3: Tính xác suất thất bại được nâng lên lũy thừa của hiệu số giữa số lần thành công và số lần thử. Xác suất thất bại là 1-p. Do đó, điều này đề cập đến việc thu được (1-p) nx
• Bước 4: Tìm hiểu tích của các kết quả thu được ở Bước 1, Bước 2 và Bước 3.

Các ví dụ

Bạn có thể tải xuống Mẫu Excel Công thức Phân phối Nhị thức này tại đây - Mẫu Excel Công thức Phân phối Nhị thức

Ví dụ 1

Số lần thử nghiệm (n) là 10. Xác suất thành công (p) là 0,5. Làm phép tính phân phối nhị thức để tính xác suất lấy được đúng 6 lần thành công.

Giải pháp:

Sử dụng dữ liệu sau đây để tính toán phân phối nhị thức.

Tính toán phân phối nhị thức có thể được thực hiện như sau,

P (x = 6) = ₁₀ C ₆ * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6

                = (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4

               = 210 * 0,015625 * 0,0625

Xác suất nhận được chính xác 6 lần thành công  sẽ là-

P (x = 6) = 0,205

Xác suất để có đúng 6 lần thành công là 0,2051

Ví dụ số 2

Một nhà quản lý của một công ty bảo hiểm xem xét dữ liệu của các hợp đồng bảo hiểm được bán bởi các nhân viên bán bảo hiểm làm việc dưới quyền của anh ta. Ông phát hiện ra rằng 80% những người mua bảo hiểm xe máy là nam giới. Anh ta muốn biết rằng nếu chọn ngẫu nhiên 8 chủ sở hữu bảo hiểm xe máy thì xác suất để có đúng 5 người trong số họ là nam giới là bao nhiêu.

Giải pháp: Đầu tiên chúng ta phải tìm ra n, p, và x là gì.

Tính toán phân phối nhị thức có thể được thực hiện như sau,

P (x = 5) = ₈ C ₅ * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5

               = (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3

              = 56 * 0,32768 * 0,008

Xác suất của Chính xác 5 lần thành công  sẽ là-

P (x = 5) = 0,14680064

Xác suất để có đúng 5 chủ bảo hiểm xe máy là nam giới là 0,14680064.

Ví dụ # 3

Ban giám đốc bệnh viện rất hào hứng trước sự ra đời của một loại thuốc mới để điều trị cho bệnh nhân ung thư vì cơ hội điều trị thành công của một người là rất cao. Xác suất để một bệnh nhân được điều trị thành công bằng thuốc là 0,8. Thuốc được truyền cho 10 bệnh nhân. Tìm xác suất để có 9 bệnh nhân trở lên được nó chữa trị thành công.

Giải pháp: Đầu tiên chúng ta phải tìm ra n, p, và x là gì.

Chúng ta phải tìm xác suất để có 9 bệnh nhân trở lên được điều trị thành công bởi nó. Do đó, 9 hoặc 10 bệnh nhân được điều trị thành công

x (số bạn phải tìm xác suất) = 9 hoặc x = 10

Chúng ta phải tìm P (9) và P (10)

Tính toán phân phối của nhị thức để tìm P (x = 9) có thể được thực hiện như sau,

P (x = 9) = ₁₀ C ₉ * (0,8) 9 (1-0,8) 10-9

               = (10! / 9! (10-9)!) * 0,134217728 * (0,2)

               = 10 * 0,134217728 * 0,2

Xác suất 9 Bệnh nhân  sẽ-

P (x = 9) = 0,2684

Tính toán phân phối nhị thức để tìm P (x = 10) có thể được thực hiện như sau,

P (x = 10) = ₁₀ C ₁₀ * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10

                  = (10! / 10! (10-10)!) * 0,107374182 * (0,2) 0

                  = 1 * 0,107374182 *

Xác suất 10 Bệnh nhân  sẽ-

P (x = 10) = 0,1074

Do đó, P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074

= 0,3758

Như vậy, xác suất để 9 bệnh nhân trở lên được điều trị bằng thuốc là 0,375809638.  

Máy tính phân phối nhị thức

Bạn có thể sử dụng máy tính phân phối nhị thức sau.

n
p
x
Công thức phân phối nhị thức =

Công thức phân phối nhị thức =	n C x * px * (1 -p) nx
	0 C 0 * 0 0 * (1- 0) 0 - 0 =	0

Mức độ liên quan và sử dụng

• Chỉ có hai kết quả
• Xác suất của mỗi kết quả không đổi từ thử nghiệm này sang thử nghiệm khác
• Có một số thử nghiệm cố định
• Mỗi thử nghiệm là độc lập tức là loại trừ lẫn nhau của những người khác
• Nó cung cấp cho chúng ta sự phân bố tần suất của số lượng kết quả thành công có thể có trong một số thử nghiệm nhất định trong đó mỗi thử nghiệm nhất định này có cùng xác suất thành công.
• Mỗi thử nghiệm trong một thí nghiệm nhị thức chỉ có thể dẫn đến hai kết quả có thể xảy ra. Do đó, tên là 'nhị thức'. Một trong những kết quả này được gọi là thành công và kết quả còn lại là thất bại. Ví dụ, những người bị bệnh có thể đáp ứng với một phương pháp điều trị hoặc không.
• Tương tự, khi chúng ta tung một đồng xu, chúng ta chỉ có thể có hai loại kết quả: đầu hoặc đuôi. Phân phối nhị thức là một phân phối rời rạc được sử dụng trong thống kê, khác với phân phối liên tục.

Một ví dụ về thí nghiệm nhị thức là tung một đồng xu, chẳng hạn như ba lần. Khi chúng ta lật một đồng xu, chỉ có 2 kết quả có thể xảy ra - đầu và đuôi. Xác suất của mỗi kết quả là 0,5. Vì đồng xu được tung ba lần nên số lần thử cố định là 3. Xác suất của mỗi lần tung không bị ảnh hưởng bởi các lần tung khác.

Phân phối nhị thức tìm thấy những ứng dụng của nó trong thống kê khoa học xã hội. Nó được sử dụng để phát triển các mô hình cho các biến kết quả phân đôi trong đó có hai kết quả. Một ví dụ về điều này là liệu đảng Cộng hòa hay đảng Dân chủ sẽ giành chiến thắng trong cuộc bầu cử.

Công thức phân phối nhị thức trong Excel (với mẫu excel)

Saurabh đã học về phương trình phân phối nhị thức ở trường. Anh ấy muốn thảo luận về khái niệm này với em gái mình và đặt cược với cô ấy. Anh ta nghĩ rằng anh ta sẽ tung một đồng xu không thiên vị 10 lần. Anh ta muốn đặt cược 100 đô la vào việc nhận được chính xác 5 mặt trong 10 lần tung. Với mục đích đặt cược này, anh ta muốn tính xác suất nhận được chính xác 5 mặt trong 10 lần tung.

Giải pháp: Đầu tiên chúng ta phải tìm ra n, p, và x là gì.

Có một công thức có sẵn cho phân phối nhị thức là Excel, đó là

Đó là BINOM.DIST (số lần thành công, số lần thử, xác suất thành công, FALSE).

Đối với ví dụ này về phân phối nhị thức sẽ là:

= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE) trong đó ô B2 biểu thị số lần thành công, ô B3 biểu thị số lần thử và ô B4 biểu thị xác suất thành công.

Do đó, việc tính toán Phân phối nhị thức sẽ-

P (x = 5) = 0,24609375

Xác suất để có đúng 5 mặt sấp trong 10 lần tung là 0,24609375

Lưu ý: FALSE trong công thức trên biểu thị hàm khối lượng xác suất. Nó tính xác suất để có đúng n thành công từ n lần thử nghiệm độc lập. TRUE biểu thị Hàm phân phối tích lũy. Nó tính xác suất có nhiều nhất x thành công từ n lần thử nghiệm độc lập.