seychellesartprojects.org

Định nghĩa Định lý Giới hạn Trung tâm

Định lý giới hạn trung tâm phát biểu rằng các mẫu ngẫu nhiên của một biến ngẫu nhiên tổng hợp với bất kỳ phân phối nào sẽ tiếp cận trở thành phân phối xác suất chuẩn khi kích thước của mẫu tăng lên và nó giả định rằng khi kích thước của mẫu trong tổng thể vượt quá 30, giá trị trung bình của mẫu mà giá trị trung bình của tất cả các quan sát đối với mẫu sẽ b gần bằng giá trị trung bình của tổng thể.

Công thức Định lý Giới hạn Trung tâm

Chúng ta đã thảo luận rằng khi kích thước mẫu vượt quá 30, phân phối có hình dạng của phân phối chuẩn. Để xác định phân phối chuẩn của một biến, điều quan trọng là phải biết giá trị trung bình và phương sai của nó. Phân phối chuẩn có thể được phát biểu là

X ~ N (µ, α)

Ở đâu

• N = không có quan sát
• µ = giá trị trung bình của các quan sát
• α = độ lệch chuẩn

Trong hầu hết các trường hợp, các quan sát không tiết lộ nhiều ở dạng thô của nó. Vì vậy, điều rất quan trọng là phải chuẩn hóa các quan sát để có thể so sánh được. Nó được thực hiện với sự trợ giúp của điểm số z. Cần phải tính điểm Z cho một lần quan sát. Công thức tính điểm z là

Z = (X- µ) / α / √n

Ở đâu

• Z = Z-điểm của các quan sát
• µ = giá trị trung bình của các quan sát
• α = độ lệch chuẩn
• n = kích thước mẫu

Giải trình

Định lý giới hạn trung tâm phát biểu rằng các mẫu ngẫu nhiên của một biến ngẫu nhiên tổng hợp với bất kỳ phân phối nào sẽ tiến tới trở thành phân phối xác suất chuẩn khi kích thước của mẫu tăng lên. Định lý giới hạn trung tâm giả định rằng khi kích thước của mẫu trong tổng thể vượt quá 30, giá trị trung bình của mẫu mà giá trị trung bình của tất cả các quan sát đối với mẫu sẽ gần bằng giá trị trung bình của tổng thể. Ngoài ra, độ lệch chuẩn của mẫu khi kích thước của mẫu vượt quá 30 sẽ bằng độ lệch chuẩn của tổng thể. Vì mẫu được chọn ngẫu nhiên từ toàn bộ dân số và kích thước của mẫu lớn hơn 30, nên nó giúp kiểm tra giả thuyết và xây dựng khoảng tin cậy cho việc kiểm định giả thuyết.

Ví dụ về Công thức Định lý Giới hạn Trung tâm (với Mẫu Excel)

Bạn có thể tải xuống Mẫu Excel Công thức Định lý Giới hạn Trung tâm này tại đây - Mẫu Excel Công thức Định lý Giới hạn Trung tâm

Ví dụ 1

Hãy hiểu khái niệm về phân phối chuẩn với sự trợ giúp của một ví dụ. Lợi tức trung bình từ quỹ tương hỗ là 12% và độ lệch chuẩn so với lợi nhuận trung bình của khoản đầu tư vào quỹ tương hỗ là 18%. Nếu chúng ta giả định rằng việc phân phối lợi tức là phân phối bình thường hơn là chúng ta hãy diễn giải phân phối lợi tức trong khoản đầu tư của quỹ tương hỗ.

Được,

• Lợi tức trung bình cho khoản đầu tư sẽ là 12%
• Độ lệch chuẩn sẽ là 18%

Vì vậy, để tìm ra lợi nhuận cho khoảng tin cậy 95%, chúng ta có thể tìm ra nó bằng cách giải phương trình dưới dạng

• Phạm vi trên = 12 + 1,96 (18) = 47%
• Phạm vi thấp hơn = 12 - 1,96 (18) = -23% 

Kết quả cho thấy rằng 95% số lần lợi nhuận từ quỹ tương hỗ sẽ nằm trong khoảng 47% đến -23%. Trong ví dụ này, cỡ mẫu là kết quả trả về của một mẫu ngẫu nhiên gồm hơn 30 quan sát về lợi nhuận sẽ cung cấp cho chúng ta kết quả về lợi tức tổng thể của quỹ tương hỗ vì phân phối mẫu sẽ được phân phối bình thường.

Ví dụ số 2

Tiếp tục với ví dụ tương tự, chúng ta hãy xác định kết quả sẽ là gì đối với khoảng tin cậy 90%

Được,

• Lợi tức trung bình cho khoản đầu tư sẽ là 12%
• Độ lệch chuẩn sẽ là 18%

Vì vậy, để tìm ra lợi nhuận cho khoảng tin cậy 90%, chúng ta có thể tìm ra nó bằng cách giải phương trình dưới dạng

• Dải trên = 12 + 1,65 (18) = 42%
• Dải thấp hơn = 12 - 1,65 (18) = -18%

Kết quả cho thấy 90% số lần lợi nhuận từ quỹ tương hỗ sẽ nằm trong khoảng 42% đến -18%.

Ví dụ # 3

Tiếp tục với ví dụ tương tự, hãy để chúng tôi xác định kết quả sẽ là gì đối với khoảng tin cậy 99%

Được,

• Lợi tức trung bình cho khoản đầu tư sẽ là 12%
• Độ lệch chuẩn sẽ là 18%

Vì vậy, để tìm ra lợi nhuận cho khoảng tin cậy 90%, chúng ta có thể tìm ra nó bằng cách giải phương trình dưới dạng

• Phạm vi trên = 12 + 2,58 (18) = 58%
• Dải thấp hơn = 12 - 2,58 (18) = -34% 

Kết quả cho thấy rằng 99% số lần lợi nhuận từ quỹ tương hỗ sẽ nằm trong khoảng từ 58% đến -34%.

Mức độ liên quan và sử dụng

Định lý giới hạn trung tâm cực kỳ hữu ích vì nó cho phép nhà nghiên cứu dự đoán giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của toàn bộ tổng thể với sự trợ giúp của mẫu. Vì mẫu được chọn ngẫu nhiên từ toàn bộ tổng thể và kích thước của mẫu lớn hơn 30, thì bất kỳ kích thước mẫu ngẫu nhiên nào được lấy từ tổng thể sẽ tiếp cận theo hướng phân phối bình thường, điều này sẽ giúp kiểm tra giả thuyết và xây dựng khoảng tin cậy cho giả thuyết thử nghiệm. Trên cơ sở của định lý giới hạn trung tâm,nhà nghiên cứu có thể chọn bất kỳ mẫu ngẫu nhiên nào từ toàn bộ tổng thể và khi kích thước của mẫu lớn hơn 30 thì nó có thể dự đoán tổng thể với sự trợ giúp của mẫu vì mẫu sẽ tuân theo phân phối chuẩn cũng như giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu sẽ giống giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của tổng thể.